Рассматриваемые вопросы:
Общие теоремы динамики механической системы. Кинетическая энергия: материальной точки, системы материальных точек, абсолютно твердого тела (при поступательном, вращательном и плоском движении). Теорема Кенига. Работа силы: элементарная работа сил, приложенных к твердому телу; на конечном перемещении, силы тяжести, силы трения скольжения, силы упругости. Элементарная работа момента силы. Мощность силы и пары сил. Теорема об изменении кинетической энергии материальной точки. Теорема об изменении кинетической энергии изменяемых и неизменяемых механических систем (дифференциальный и интегральный вид). Потенциальное силовое поле и его свойства. Эквипотенциальные поверхности. Потенциальная функция. Потенциальная энергия. Закон сохранения полной механической энергии.
5.1 Кинетическая энергия
а) материальной точки:
Определение: кинетической энергией материальной точки называется половина произведения массы этой точки на квадрат её скорости:
Кинетическая энергия является скалярной положительной величиной.
В системе СИ, единицей измерения энергии является джоуль:
1 дж = 1 Н?м.
б) системы материальных точек:
Кинетическая энергия системы материальных точек это сумма кинетических энергий всех точек системы:
в) абсолютно твердого тела:
1) при поступательном движении.
Скорости всех точек одинаковы и равны скорости центра масс, т.е. , тогда:
где М - масса тела.
Кинетическая энергия твердого тела, движущегося поступательно, равна половине произведения массы тела М на квадрат его скорости.
2) при вращательном движении.
Скорости точек определяются по формуле Эйлера:
Модуль скорости:
Кинетическая энергия тела при вращательном движении:
где: z - ось вращения.
Кинетическая энергия твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, равна половине произведения момента инерции этого тела относительно оси вращения на квадрат угловой скорости тела.
3) при плоском движении.
Скорость любой точки определяются через полюс:
Плоское движение состоит из поступательного движения со скоростью полюса и вращательного движения вокруг этого полюса, тогда кинетическая энергия складывается из энергии поступательного движения и энергии вращательного движения.
Кинетическая энергия через полюс «А» при плоском движении:
Лучше всего за полюс брать центр масс, тогда:
Это удобно потому, что моменты инерции относительно центра масс всегда известны.
Кинетическая энергия твердого тела при плоско-параллельном движении складывается из кинетической энергии поступательного движения вместе с центром масс и кинетической энергии от вращения вокруг неподвижной оси, проходящей через центр масс и перпендикулярной плоскости движения.
Часто бывает удобным брать за полюс мгновенный центр скоростей. Тогда:
Учитывая, что по определению мгновенного центра скоростей его скорость равна нулю, то .
Кинетическая энергия относительно мгновенного центра скоростей:
Необходимо помнить, что для определения момента инерции относительно мгновенного центра скоростей необходимо применять формулу Гюйгенса - Штейнера:
Эта формула бывает предпочтительнее в тех случаях, когда мгновенный центр скоростей находится на конце стержня.
4) Теорема Кенига.
Предположим, что механическая система вместе с системой координат, проходящей через центр масс системы, движется поступательно относительно неподвижной системы координат. Тогда, на основании теоремы о сложении скоростей при сложном движении точки, абсолютная скорость произвольной точки системы запишется как векторная сумма переносной и относительной скоростей:
где: - скорость начала подвижной системы координат (переносная скорость, т.е. скорость центра масс системы);
Скорость точки относительно подвижной системы координат (относительная скорость). Опуская промежуточные выкладки, получим:
Это равенство определяет теорему Кенига.
Формулировка: Кинетическая энергия системы равна сумме кинетической энергии, которую имела бы материальная точка, расположенная в центре масс системы и имеющая массу, равную массе системы, и кинетической энергии движения системы относительно центра масс.
5.2Работа силы.
А4. Какие изменения отмечает человек в звуке при увеличении частоты колебаний в звуковой волне?
1) Повышение высоты тона
2) Понижение высоты тона
3) Увеличение громкости
4) Уменьшение громкости
А5. Расстояния от двух когерентных источников волн до точки М равны а и b. Разность фаз колебаний источников равна нулю, длина волны равна l. Если излучает только один источник волн, то амплитуда колебаний частиц среды в точке М равна А1, если только второй, то – А2. Если разность хода волн a – b =3l/2 , то в точке М амплитуда суммарного колебания частиц среды
1) равна нулю 2) равна | А1 – А2| 3) равна | А1 + А2|
4) меняется со временем периодически
А6. Выберите правильное утверждение.
А. Опираясь на эксперименты Фарадея по исследованию электромагнитной индукции, Максвелл теоретически предсказал существование электромагнитных волн.
В. Опираясь на теоретические предсказания Максвелла, Герц обнаружил электромагнитные волны экспериментально.
С. Опираясь на эксперименты Герца по исследованию электромагнитных волн, Максвелл создал теорию их распространения в вакууме.
1) Только А и В 2) Только А и С 3) Только В и С 4) И А, и В, и С
А7. Какое утверждение верно?
В теории электромагнитного поля Максвелла
А – переменное электрическое поле порождает вихревое магнитное поле
Б – переменное магнитное поле порождает вихревое электрическое поле
А8. В одной научной лаборатории для ускорения заряженных частиц используется линейный ускоритель, а во второй – циклотрон, в котором частицы разгоняются, двигаясь по спиралевидной траектории. В какой из лабораторий следует учесть возможность возникновения опасных для человека электромагнитных излучений.
1) Только в первой 2) Только во второй 3) В обеих лабораториях
4) Ни в одной из лабораторий
А9. Какое утверждение правильное?
Излучение электромагнитных волн происходит при
А – движении электрона в линейном ускорителе
Б – колебательном движении электронов в антенне
1) Только А 2) Только Б 3) И А, и Б 4) Ни А, ни Б
А10. Заряженная частица не излучает электромагнитные волны в вакууме
1) равномерном прямолинейном движении
2) равномерном движении по окружности
3) колебательном движении
4) любом движении с ускорением
А11. Скорость распространения электромагнитных волн
1) имеет максимальное значение в вакууме
2) имеет максимальное значение в диэлектриках
3) имеет максимальное значение в металлах
4) одинакова в любых средах
А12. В первых экспериментах по изучению распространения электромагнитных волн в воздухе были измерены длина волны см и частота излучения МГц. На основе этих неточных экспериментов было получено значение скорости света в воздухе, равное примерно
1) 100000 км/с 2) 200000 км/с 3) 250000 км/с 4) 300000 км/с
А13. Колебания электрического поля в электромагнитной волне описываются уравнением: Е=10sin(107t). Определите частоту колебаний (в Гц).
1) 107 2) 1,6 *106 3)(107 t) 4) 10
А14. При распространении электромагнитной волны в вакууме
1) происходит только перенос энергии
2) происходит только перенос импульса
3) происходит перенос и энергии, и импульса
4) не происходит переноса ни энергии, ни импульса
А15. При прохождении электромагнитной волны в воздухе происходят колебания
1) молекул воздуха
2) плотности воздуха
3) напряжённости электрического и индукции магнитного полей
4) концентрации кислорода
А16. Явлением, доказывающим, что в электромагнитной волне вектор напряжённости электрического поля колеблется в направлении, перпендикулярном направлению распространению электромагнитной волны, является
1) интерференция 2) отражение 3) поляризация 4) дифракция
А17. Укажите сочетание тех параметров электромагнитной волны, которые изменяются при переходе волны из воздуха в стекло
1) скорость и длина волны 2) частота и скорость
3) длина волны и частота 4) амплитуда и частота
А18. Какое явление характерно для электромагнитных волн, но не является общим свойством волн любой природы?
1) интерференция 2) преломление 3) поляризация 4) дифракция
А19. На какую длину волны нужно настроить радиоприемник, чтобы слушать радиостанцию «Европа+», которая вещает на частоте 106,2 МГц?
1) 2,825 дм 2) 2,825 см 3) 2,825 км 4) 2,825 м
А20. Амплитудная модуляция высокочастотных электромагнитных колебаний в радиопередатчике используется для
1) увеличения мощности радиостанции
2) изменения амплитуды высокочастотных колебаний
3) изменения амплитуды колебаний звуковой частоты
4) задания определенной частоты излучения данной радиостанции
Открытие закона сохранения импульса, который утверждает, что векторная сумма импульсов всех тел (или частиц) замкнутой системы есть величина постоянная, показало, что механическое движение тел имеет количественную меру, сохраняющуюся при любых взаимодействиях тел. Этой мерой является импульс. Однако только с помощью этого закона не получится дать полное объяснение всех закономерностей движения и взаимодействия тел.
Рассмотрим пример. Пуля массой 9 грамм, находящаяся в состоянии покоя, абсолютно безвредна. Но во время выстрела при соприкосновении с препятствием пуля деформирует его. Очевидно, что такой разрушительный эффект получается в результате того, что пуля обладает особой энергией.
Рассмотрим другой пример. Два одинаковых пластилиновых шара движутся навстречу друг другу с одинаковыми скоростями. При столкновении они останавливаются и соединяются в одно тело.
Сумма импульсов шаров до столкновения и после столкновения одинакова и равна нулю, закон сохранения импульсов выполняется. Что же происходит с пластилиновыми шарами при их столкновении, кроме изменения скорости движения? Шары деформируются и нагреваются.
Повышение температуры тел при столкновении можно наблюдать, например, при ударе молотка по свинцовому или медному стержню. Изменение температуры тела свидетельствует об изменениях скоростей хаотичного теплового движения атомов, из которого состоит тело. Следовательно, механическое движение не исчезло бесследно, оно превратилось в другую форму движения материи.
Вернёмся к вопросу, который мы ставили выше. Имеется ли в природе мера движения материи, сохраняющаяся при любых превращениях одной формы движения в другую? Опыты и наблюдения показали, что такая мера движения в природе существует. Её назвали энергией.
Энергией называется физическая величина, являющаяся количественной мерой различных форм движения материи.
Для точного определения энергии как физической величины необходимо найти её связь с другими величинами, выбрать единицу измерения и найти способы её измерения.
Механической энергией
называется физическая величина, которая является количественной мерой механического движения.
В физике в качестве такой количественной меры поступательного механического движения при возникновении его из других форм движения или превращении в другие формы движения принята величина, равная половине произведения массы тела на квадрат скорости его движения. Эта физическая величина называется кинетической энергией тела и обозначается буквой Е с индексом к :
Е к = mv 2 / 2
Так как скорость является величиной, зависящей от выбора системы отсчёта, значение кинетической энергии тела зависит от выбора системы отсчёта.
Существуеттеорема о кинетической энергии. «Работа приложенной к телу равнодействующей силы равна изменению его кинетической энергии»:
А = Е к2 -Е к1
Данная теорема будет справедлива и когда тело движется под действием константной силы, и когда тело движется по действием изменяющейся силы, направление которой не совпадает с направлением перемещения. Кинетическая энергия – это энергия движения. Получается, кинетическая энергия тела
массой m, движущегося со скоростью v равна работе, которую должна совершить сила, приложенная к покоящемуся телу, чтобы сообщить ему эту скорость:
А = mv 2 / 2 = Е к
Если тело будет двигаться со скоростью v, то для его полной остановки необходимо совершить работу:
А = -mv 2 / 2 = -Е к
За единицу работы в международной системе принимается работа, совершаемая силой 1 Ньютон на пути 1 метр при движении по направлению вектора силы. Эта единица измерения работы называется Джоулем.
1 Дж = 1 кг · м 2 / c 2
Так как работа равна изменению энергии, для измерения энергии используется та же единица измерения, что и для измерения работы. Единица энергии в СИ – 1Дж.
Остались вопросы? Не знаете, что такое кинетическая энергия?
Чтобы получить помощь репетитора – зарегистрируйтесь .
Первый урок – бесплатно!
сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.
Кинетическая энергия - скалярная физическая величина, равная половине произведения массы тела на квадрат его скорости.
Что бы понять, что же такое кинетическая энергия тела, рассмотрим случай, когда тело массой m под действием постоянной силы (F=const) движется прямолинейно равноускоренно (а=const). Определим работу силы, приложенной к телу, при изменении модуля скорости этого тела от v1 до v2.
Кинетическая-энергия-тела
Как мы знаем, работа постоянной силы вычисляют по формуле
Так как в рассматриваемом нами случае направление силы F и перемещения s совпадают, то
И тогда у нас получается, что работа силы равна
По второму закону Ньютона найдем силу F=ma. Для прямолинейного равноускоренного движения справедлива формула:
Из это формулы мы выражаем перемещение тела:
Подставляем найденные значения F и S в формулу работы, и получаем:
Из последней формулы видно, что работа силы, приложенной к телу, при изменении скорости этого тела равна разности двух значений некоторой величины
А механическая работа это и есть мера изменения энергии. Следовательно, в правой части формулы стоит разность двух значений энергии данного тела. Это значит, что величина
представляет собой энергию, обусловленную движением тела. Эту энергию называют кинетической. Она обозначается Wк.
Если взять выведенную нами формулу работы, то у нас получится
Работа, совершаемая силой при изменении скорости тела, равна изменению кинетической энергии этого тела
Так же есть:
Потенциальная энергия.
Определим кинетическую энергию твёрдого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси. Разобьем это тело на n материальных точек. Каждая точка движется с линейной скоростью υ i =ωr i , тогда кинетическая энергия точки
или
Полная кинетическая энергия вращающегося твердого тела равна сумме кинетических энергий всех его материальных точек:
(3.22)
(J - момент инерции тела относительно оси вращения)
Если траектории всех точек лежат в параллельных плоскостях (как у цилиндра, скатывающегося с наклонной плоскости, каждая точка перемещается в своей плоскости рис), это плоское движение . В соответствии с принципом Эйлера плоское движение всегда можно бесчисленным количеством способов разложить на поступательное и вращательное движение. Если шарик падает или скользит вдоль наклонной плоскости, он двигается только поступательно; когда же шарик катится – он ещё и вращается.
Если тело совершает поступательное и вращательное движения одновременно, то его полная кинетическая энергия равна
(3.23)
Из сопоставления формул кинетической энергии для поступательного и вращательного движений видно, что мерой инертности при вращательном движении служит момент инерции тела.
§ 3.6 Работа внешних сил при вращении твёрдого тела
При вращении твёрдого тела его потенциальная энергия не изменяется, поэтому элементарная работа внешних сил равна приращению кинетической энергии тела:
dA
= dE
или
Учитывая, что Jβ = M, ωdr = dφ, имеем α тела на конечный угол φ равна
(3.25)
При вращении твёрдого тела вокруг неподвижной оси работа внешних сил определяется действием момента этих сил относительно данной оси. Если момент сил относительно оси равен нулю, то эти силы работы не производят.
Примеры решения задач
Пример 2.1. Маховик массой m =5кг и радиусом r = 0,2 м вращается вокруг горизонтальной оси с частотой ν 0 =720 мин -1 и при торможении останавливается за t =20 с. Найти тормозящий момент и число оборотов до остановки.
Для определения тормозящего момента применим основное уравнение динамики вращательного движения
где I=mr 2 – момент инерции диска; Δω =ω - ω 0 , причём ω =0 конечная угловая скорость, ω 0 =2πν 0 - начальная. М –тормозящий момент сил, действующих на диск.
Зная все величины, можно определить тормозящий момент
Mr 2 2πν 0 = МΔt (1)
(2)
Из кинематики вращательного движения угол поворота за время вращения диска до остановки может быть определён по формуле
(3)
где β–угловое ускорение.
По условию задачи: ω =ω 0 – βΔt, так как ω=0, ω 0 = βΔt
Тогда выражение (2) может быть записано в виде:
Пример 2.2. Два маховика в виде дисков одинаковых радиусов и масс были раскручены до скорости вращения n = 480 об/мин и предоставили самим себе. Под действием сил трения валов о подшипники первый остановился через t =80 с, а второй сделал N = 240 оборотов до остановки. У какого и маховика момент сил трения валов о подшипники был больше и во сколько раз.
Момент сил терния М 1 первого маховика найдём, воспользовавшись основным уравнением динамики вращательного движения
M 1 Δt = Iω 2 - Iω 1
где Δt – время действия момента сил трения, I=mr 2 - момент инерции маховика, ω 1 = 2πν и ω 2 = 0– начальная и конечная угловые скорости маховиков
Тогда 
Момент сил трения М 2 второго маховика выразим через связь между работой А сил трения и изменением его кинетической энергии ΔE к:
где Δφ = 2πN – угол поворота, N -число оборотов маховика.
Тогда, откуда
О
тношение
будет равно
Момент сил трения второго маховика в 1.33 раза больше.
Пример
2.3.
Масса
однородного сплошного диска m, массы
грузов m
1
и m
2
(рис.15). Скольжения и трения нити в оси
цилиндра нет. Найти ускорение грузов и
отношение натяжений нити
в процессе движения.
Проскальзывания нити нет,
поэтому, когда m 1
и m 2
будут совершать поступательное движение,
цилиндр будет совершать вращение
относительно оси, проходящей через
точку О. Положим для определённости,
что m 2
> m 1
.
Тогда груз m 2 опускается и цилиндр вращается по часовой стрелке. Запишем уравнения движения тел, входящих в систему
Первые два уравнения записаны для тел с массами m 1 и m 2 , совершающих поступательное движение, а третье уравнение – для вращающегося цилиндра. В третьем уравнении слева стоит суммарный момент сил, действующих на цилиндр (момент силы T 1 взят со знаком минус, так как сила T 1 стремится повернуть цилиндр против часовой стрелки). Справа I - момент инерции цилиндра относительно оси О, который равен
где R - радиус цилиндра; β - угловое ускорение цилиндра.
Так как
проскальзывания нити нет, то 
. С учётом выражений для I и β получим:
Складывая уравнения системы, приходим к уравнению
Отсюда находим ускорение a грузов
Из полученного
уравнения видно, что натяжения нитей
будут одинаковы, т.е. 
=1,
если масса цилиндра будет гораздо меньше
массы грузов.
Пример
2.4.
Полый
шар массой m = 0,5 кг имеет внешний радиус
R = 0,08м и внутренний r = 0,06м. Шар вращается
вокруг оси, проходящей через его центр.
В определённый момент на шар начинает
действовать сила, в результате чего
угол поворота шара изменяется по закону
.
Определить момент приложенной силы.
Решаем задачу,
используя основное уравнение динамики
вращательного движения 
.
Основная трудность – определить момент
инерции полого шара, а угловое ускорение
β находим как 
.
Момент инерции I полого шара равен
разности моментов инерции шара радиуса
R и шара радиуса r:
где ρ - плотность материала шара. Находим плотность, зная массу полого шара
Отсюда определим плотность материала шара
Для момента силы M получаем следующее выражение:
Пример 2.5. Тонкий стержень массой 300г и длиной 50см вращается с угловой скоростью 10с -1 в горизонтальной плоскости вокруг вертикальной оси, проходящей через середину стержня. Найдите угловую скорость, если в процессе вращения в той же плоскости стержень переместится так, что ось вращения пройдёт через конец стержня.
Используем закон сохранения момента импульса
(1)
(J i -момент инерции стержня относительно оси вращения).
Для изолированной системы тел векторная сумма моментов импульса остаётся постоянной. Вследствие того, что распределение массы стержня относительно оси вращения изменяется момент инерции стержня также изменяется в соответствии с (1):
J 0 ω 1 = J 2 ω 2 . (2)
Известно, что момент инерции стержня относительно оси, проходящей через центр масс и перпендикулярной стержню, равен
J 0 = mℓ 2 /12. (3)
По теореме Штейнера
J =J 0 +mа 2
(J-момент инерции стержня относительно произвольной оси вращения; J 0 – момент инерции относительно параллельной оси, проходящей через центр масс; а - расстояние от центра масс до выбранной оси вращения).
Найдём момент инерции относительно оси, проходящей через его конец и перпендикулярной стержню:
J 2 =J 0 +mа 2 , J 2 = mℓ 2 /12 +m(ℓ/2) 2 = mℓ 2 /3. (4)
Подставим формулы (3) и (4) в (2):
mℓ 2 ω 1 /12 = mℓ 2 ω 2 /3
ω 2 = ω 1 /4 ω 2 =10с-1/4=2,5с -1
Пример 2.6 . Человек массой m =60кг, стоящий на краю платформы массой М=120кг, вращающейся по инерции вокруг неподвижной вертикальной оси с частотой ν 1 =12мин -1 , переходит к её центру. Считая платформу круглым однородным диском, а человека – точечной массой, определите, с какой частотой ν 2 будет тогда вращаться платформа.
Дано: m=60кг, М=120кг, ν 1 =12мин -1 = 0,2с -1 .
Найти: ν 1
Решение: Согласно условию задачи, платформа с человеком вращается по инерции, т.е. результирующий момент всех сил, приложенных к вращающейся системе, равен нулю. Поэтому для системы «платформа-человек» выполняется закон сохранения момента импульса
I 1 ω 1 = I 2 ω 2
где
-
момент инерции системы, когда человек
стоит на краю платформы (учли, что момент
инерции платформы, равен
(R
– радиус п
латформы),
момент инерции человека на краю платформы
равенmR 2).
-
момент инерции системы, когда человек
стоит в центре платформы (учли, что
момент человека, стоящего в центре
платформы, равен нулю). Угловая скорость
ω 1 =
2π ν 1
и
ω 1 =
2π ν 2 .
Подставив записанные выражения в формулу (1), получаем
откуда искомая частота вращения
Ответ : ν 2 =24мин -1 .